std::sqrt(std::valarray)

#include <cassert>
#include <complex>
#include <cstddef>
#include <iostream>
#include <numbers>
#include <valarray>
using CD = std::complex<double>;
using VA = std::valarray<CD>;
// gibt alle n komplexen Wurzeln einer gegebenen komplexen Zahl x zurück
VA root(CD x, unsigned n)
{
    const double mag = std::pow(std::abs(x), 1.0 / n);
    const double step = 2.0 * std::numbers::pi

**Erklärung:**
- HTML-Tags und Attribute wurden unverändert beibehalten
- Der C++-Code innerhalb der Tags wurde nicht übersetzt
- Die Formatierung wurde exakt erhalten
- Der Link und alle Klassenattribute bleiben funktional unverändert

Die Übersetzung folgt den technischen Anforderungen für C++-Dokumentation, wobei Code-Elemente und Fachbegriffe in ihrer Originalform belassen wurden. / n;
    double phase = std::arg(x) / n;
    VA v(n);
    for (std::size_t i{}; i != n; ++i, phase += step)
        v[i] = std::polar(mag, phase);
    return v;
}
// gibt n komplexe Wurzeln jedes Elements in v zurück; im Ausgabe-valarray zuerst
// folgt die Sequenz aller n Wurzeln von v[0], dann alle n Wurzeln von v[1], usw.
VA root(VA v, unsigned n)
{
    VA o(v.size() * n);
    VA t(n);
    for (std::size_t i = 0; i != v.size(); ++i)
    {
        t = root(v[i], n);
        for (unsigned j = 0; j != n; ++j)
            o[n * i + j] = t[j];
    }
    return o;
}
// Gleitkommazahlen-Vergleicher, der einen bestimmten Rundungsfehler toleriert
inline bool is_equ(CD x, CD y, double tolerance = 0.000'000'001)
{
    return std::abs(std::abs(x) - std::abs(y)) < tolerance;
}
int main()
{
    // Eingabekoeffizienten für Polynom x³ + p·x + q
    const VA p{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
    const VA q{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
    // der Solver
    const VA d = std::sqrt(std::pow(q / 2, 2) + std::pow(p / 3, 3));
    const VA u = root(-q / 2 + d, 3);
    const VA n = root(-q / 2 - d, 3);
    // Speicher für Wurzeln reservieren: 3 * Anzahl der eingegebenen kubischen Polynome
    VA x[3];
    for (std::size_t t = 0; t != 3; ++t)
        x[t].resize(p.size());
    auto is_proper_root = [](CD a, CD b, CD p) { return is_equ(a * b + p / 3.0, 0.0); };
    // Siebe 6 von 9 generierten Wurzeln aus, lasse nur 3 korrekte Wurzeln (pro Polynom) übrig
    for (std::size_t i = 0; i != p.size(); ++i)
        for (std::size_t j = 0, r = 0; j != 3; ++j)
            for (std::size_t k = 0; k != 3; ++k)
                if (is_proper_root(u[3 * i + j], n[3 * i + k], p[i]))
                    x[r++][i] = u[3 * i + j] + n[3 * i + k];
    std::cout << "Depressed cubic equation:   Wurzel 1: \t\t Wurzel 2: \t\t Wurzel 3:\n";
    for (std::size_t i = 0; i != p.size(); ++i)
    {
        std::cout << "x³ + " << p[i] << "·x + " << q[i] << " = 0  "
                  << std::fixed << x[0][i] << "  " << x[1][i] << "  " << x[2][i]
                  << std::defaultfloat

**Erklärung:**  
- HTML-Tags und Attribute wurden unverändert beibehalten  
- Der C++-spezifische Begriff `defaultfloat` wurde nicht übersetzt  
- Die Struktur `std::defaultfloat` bleibt original erhalten  
- Nur der umgebende Erklärungstext wurde ins Deutsche übersetzt << '\n';
        assert(is_equ(std::pow(x[0][i], 3) + x[0][i] * p[i] + q[i], 0.0));
        assert(is_equ(std::pow(x[1][i], 3) + x[1][i] * p[i] + q[i], 0.0));
        assert(is_equ(std::pow(x[2][i], 3) + x[2][i] * p[i] + q[i], 0.0));
    }
}